Contoh Soal Olimpiade Matematika SMA dan Pembahasannya

Nama           : Vandhana Prasasti Salsabila

Kelas            : X MIPA 1

No. Absen    : 33

1.       Polinom P(x) = x³ - x² + x - 2 mempunyai tiga pembuat nol yaitu a, b, dan c. Nilai dari a³+b³+c³ adalah ... (OSK Matematika SMA 2010)

Pembahasan :

Pada soal, polinom x³ - x² + x – 2 = 0 memiliki akar-akar a, b, c. Dari hal tersebut dapat diketahui tiga hal, yaitu :

·         a + b + c = 1

·         ab + bc + ac = 1

·         abc = 2

akan dicari nilai dari  a³+b³+c³. Langkah pertama adalah membuat persamaan umumnya :

(a + b + c)³ = (a + b + c)³

(a³ + b³ + c³) + (a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³) = (a + b + c)³

(a³ + b³ + c³) + [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)] = (a + b + c)³

(a³ + b³ + c³) = (a + b + c)³ – [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)]

Sekarang akan disederhanakan nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)]. Karena pengembangan dari (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc. Maka nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)] = 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc. Diketahui pula bahwa (ab+bc+ac)(a+b+c) = a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac² + 3abc, kita sebut persamaan 1.

Maka dari persamaan tadi didapat bahwa 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc, nilai ini akan identik dengan : (3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 9abc) – 3abc. Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi : 3(a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac² + abc) – 3abc.

Dengan mensubtitusikan persamaan 1 ke persamaan di atas maka persamaan akan menjadi :

3(ab + bc + ac)(a + b + c) - 3abc. Sehingga disimpulkan nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)] adalah sama dengan 3(a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac² + abc) – 3abc. Tadi telah kita dapat bahwa :

(a³ + b³ + c³) = (a + b + c)³ – [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)]

Dengan mengganti nilai yang bercetak tebal menjadi 3(a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac² + abc) – 3abc, maka persamaan menjadi :

(a³ + b³ + c³) = (a + b + c)³ - [3(ab + bc + ac)(a + b + c) - 3abc]

Dengan mensubtitusikan nilai a + b + c ; ab + bc + ac ; dan abc ke dalam persamaan, maka didapat:

(a³ + b³ + c³) = (1)³ - 3[(1)(1) - 2] = 1 – 3(1-2) = 1 – 3(-1) = 1 + 3 = 4

Sehingga didapat bahwa nilai dari a³ + b³ + c³ = 4.

2.       Banyaknya bilangan bulat positif n yang memenuhi

n² – 660

merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah ... (OSP Matematika SMA 2013)

Pembahasan :

Misalkan n² – 660 = k² untuk suatu bilangan positif k. Selanjutnya kita peroleh n² + k² = 660 «­» (n+k)(n-k)= 2².3.5.11, karena (n + k) > (n – k) dan keduanya memiliki paritas sama, akibatnya ada empat kasuk yang mungkin :

·         n + k = 330 dan n - k = 2 sehingga diperoleh n = 166 dan k = 164.

·         n + k = 110 dan n - k = 6 sehingga diperoleh n = 58 dan k = 52.

·         n + k = 66 dan n - k = 10 sehingga diperoleh n = 38 dan k = 28.

·         n + k = 30 dan n - k = 22 sehingga diperoleh n = 26 dan k = 4.

Jadi, ada 4 bilangan asli n yang memenuhi.