Soal dan Pembahasan Olimpiade Siswa SMA

Soal dan Pembahasan Olimpiade Siswa SMA

1.      Bilangan x adalah bilangan bulat positif terkecil yang membuat

31ⁿ  + x . 96ⁿ

Merupakan kelipatan 2015 untuk setiap bilangan asli n. Nilai x  adalah….

Jawab:

31ⁿ  + x . 96ⁿ habis dibagi 2015 = 5 . 13 . 31 maka

31ⁿ  + x . 96ⁿ  ≡ 1ⁿ  + x . 1ⁿ (mod 5) ≡ 1 + x (mod 5)

Jadi, x ≡ -1 (mod 5)

31ⁿ  + x . 96ⁿ  ≡ 5ⁿ + x . 5ⁿ (mod 13)

Jadi, x ≡ -1 (mod 13)

31ⁿ  + x . 96ⁿ  ≡ x . 3ⁿ (mod 31)

FPB (3,31) = 1 maka x ≡ 0 (mod 31)

Maka x = 31a dengan a  € N

31a ≡ -1 (mod 13)

5a ≡ -1 (mod 13)

a = 13b + 5 dengan b € N

x = 31 (13b + 5) = 403b + 155

403b + 155 ≡ -1 (mod 5)

403b ≡ -1 (mod 5)

3b ≡ -1 (mod 5)

Maka b = 5c + 3

x = 403b + 65 = 403 (5c + 3) +155 = 2015c + 1364 dengan c € N

F Jadi, nilai x terkecil yang memenuhi adalah 1364.

2.      Banyaknya factor positif dari 2015 adalah …

Jawab:

2015 = 5 . 13 . 31

Banyaknya faktor positif = 2 . 2. 2 = 8

F Jadi, banyaknya faktor bulat positif  dari 2015 adalah 8.

3.      Bilangan bulat x jika dikalikan 11 terletak diantara 1500 dan 2000. Jika x dikalikan 7 terletak antara 970 dan 1275. Jika x dikalikan 5 terletak antara 960 dan 900. Banyaknya bilangan x sedemikian yang habis dibagi 3 sekaligus habis dibagi 5 ada sebanyak …

Jawab:

1500 < 11x < 2000 sehingga 136 < x < 182

970 < 7x < 1275 sehingga 138 < x  < 183

690 < 5x < 900 sehingga 138 <  x  < 180

Maka 138 < x  < 180

Bilangan yang habis dibagi 3 dan 5 maka bilangan tersebut habis dibagi 15.

Bilangan yang habis dibagi 15 ada 2 yaitu 150 dan 165.

F Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi ada 2.

4.      Banyaknya bilangan asli n ≤ 2015  yang dapat dinyatakan dalam bnetuk n = a + b dengan a, b bilangan asli yang memenuhi a – b bilangan prima dan ab bilangan kuadrat sempurna adalah …

Jawab :

n = a + b dengan  n ≤ 2015 dan n, a, b € N

Jelas bahwa b < a

a + b = n ≤ 2015

2b < n ≤ 2015 maka b ≤ 1007

Andaikan FPB (a,b) = d

Maka a = dp dan b = dq

a – b = d(p-q) merupakan bilangan prima. Maka d = 1

karena ab kuadrat sempurna sedangkan FPB (a,b) = 1 maka haruslah a dan b masing – masing kudrat sempurna.

Misalkan a = m² dan b = t²

t² ≤ 1007 sehingga t ≤ 31

a – b = m² - t² = (m + t)(m-t) adalah bilangan prima.

Maka m – t = 1

a – b = (t + 1)²  - t² = 2t + 1cadalah bilangan prima ganjil.

Bilangan prima ganjil  ≤ 63 adalah 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 23, 29, 31, 37, 41, 43, 53, 59, dan 61. Banyaknya nilai b yang memenuhi ada 17.

Maka banyaknya nilai yang  n memenuhi  ada 17

F Jadi, banyaknya nilai yang  n memenuhi  ada 17.

5.      Bilangan asli n dikatakan “ kuat “ jika terdapat bilangan asli x sehingga   x^nx + 1 habis dibgi 2ⁿ.

1.      Buktikan bahwa 2013 merupakan bilangan kuat.

2.      Jika m bilangan kuat, tentukan bilangan asli terkecil y sehingga y^my + 1 habis dibagi 2^m.

Jawab:

Ingat kembali identitas: untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan bilngan ganjil n  berlaku

aⁿ + bⁿ = (a+b)(a^n-1 – a^n-2 b + … - ab^n-2 + b^n-1) …….%

a). Misalkan x = 2²⁰¹³ – 1 maka x + 1 = 2²⁰¹³ dan berdasarkan %, diperoleh x + 1 membagi x^2013x + 1. Jadi terbukti 2013 adalah bilangan bulat.

b). Diketahui 2^m│(y^my + 1). Dari sini jelas bahwa y bilangan ganjil. Selain itu jika mgenap maka y^my ≡ (y^ky)² ≡ 0 atau 1 mod 4. Akibatnya y^my + 1≡ 1 atau 2 mod 4, kontradiksi dengan fakta 2^m│(y^my + 1). Jadi haruslah m juga bilangan ganjil. Karena my ganjil berdasarkan %, diperoleh

y^my + 1 = (y+1)(y^my-1 - y^my-2 + y^my-3 - … + y² – y + 1 ) … (*)

Karena y ganjil dan bilangan  y^my-1 - y^my-2 + y^my-3 - … + y² – y + 1 memiliki my suku maka y^my-1 - y^my-2 + y^my-3 - … + y² – y + 1 juga ganjil . Oleh karena itu dapat disimpulkan  2^m│(y + 1). Sehingga 2^m ≤ y + 1→ y ≥ 2^m – 1. Padahal berdasarkan (*), mudah dicek bahwa y = 2^m - 1  memenuhi.

F Jadi bilangan terkecil yang memenuhi adalah y =  2^m - 1